Logika Matematika

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadi didasarkan pada penalaran – penalaran yang logis atas sistem matematis.

Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi dan bagian matematik ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika.

Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran – kebenaran yang dapat dibuktikan secara matematis. Meskipun tanpa perhitungan melalui angka-angka atau dengan statistik, tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya.

Berbagai macam peralatan elektronik yang ada di sekitar kita, merupakan contoh nyata dari kemampuan manusia dalam menerapkan disiplin ilmu logika matematika di berbagai bidang kehidupan. Diantaranya seperti listrik, komputer, televisi dan radio dikembangkan atas dasar dan aturan logika matematika sederhana yang dibentuk dalam sebuah rangkaian elektronik yaitu menggunakan rangkaian benar yang biasanya dinyatakan dengan on dan off.

Berikut ini akan penulis uraiakan salah satu sub pokok kajian logika matematika tentang konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Kajian lokasi ini semua terlepas dari pernyataan – pernyataan yang konkret. Biasanya pernyataan – pernyataan tersebut ditulis dengan huruf p dan q dengan suatu ketentuan umum mengenai tabel kebenaran yang biasa ditulis dengan huruf B dan pernyataan yang salah dengan huruf S

1.2 TUJUAN

Makalah ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan sekaligus sebagai tugas matakuliah itu sendiri.

BAB 2

PEMBAHASAN

2.1 PENGERTIAN LOGIKA

Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol logika secara intensif.

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Logika Matematika atau Logika Simbol  ialah logika  yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.

Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.

     I.          PENGHUBUNG KALIMAT

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain  disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Dalam logika dikenal 5 buah penghubung,antara lain:

Simbol	Arti	Bentuk
¬	Tidak/Not/Negasi	Tidak………….
Ù	Dan/And/Konjungsi	……..dan……..
Ú	Atau/Or/Disjungsi	………atau…….
Þ	Implikasi	Jika…….maka…….
Û	Bi-Implikasi	……..bila dan hanya bila……..

           II.     HUKUM-HUKUM LOGIKA

·         Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.

1.   Hukum identitas:     p Ú F Û p     p Ù T Û p	2.   Hukum null/dominasi:     p Ù F Û F     p Ú T Û T
3.   Hukum negasi:     p Ú ~p Û T     p Ù ~p Û F	4.   Hukum idempoten:     p Ú p Û p     p Ù p Û p
5.   Hukum involusi (negasi ganda):     ~(~p) Û p	6.   Hukum penyerapan (absorpsi):     p Ú (p Ù q) Û p     p Ù (p Ú q) Û p
7.         Hukum komutatif:     p Ú q Û q Ú p     p Ù q Û q Ù p	8.   Hukum asosiatif:     p Ú (q Ú r) Û (p Ú q) Ú r     p Ù (q Ù r) Û (p Ù q) Ù r
9.   Hukum distributif:     p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r)     p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r)	10. Hukum De Morgan:     ~(p Ù q) Û ~p Ú ~q     ~(p Ú q) Û ~p Ù ~q

2.2 KALIMAT PERNYATAAN

Kalimat Pernyataan

     Pengertian Kalimat Pernyataan adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Contoh 1 (Pernyataan yang benar) :

a.  Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam

b.  Jika x = 2, maka 2x = 4

c.  2 adalah bilangan asli

Contoh 2 (Pernyataan yang salah) :

a.    Batu adalah benda cair

b.    Setiap bilangan prima adalah ganjil

Contoh 3 (Bukan pernyataan) :

a.  x + 3 = 0 

b. Rapikan tempat tidurmu!

Istilah-istilah lain untuk pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement, atau proposisi. Sedangkan istilah lain untuk  kalimat yang bukan pernyataan adalah kalimat matematika terbuka atau kalimat terbuka. Namun ada beberapa ahli logika dalam bukunya yang membedakan istilah pernyataan dan istilah proposisi. Hal ini berhubungan dengan pemakaiannya. Istilah pernyataan (statement) digunakan untuk menyatakan, sedangkan istilah proposisi (proposition) digunakan untuk kalimat tertutup. Akan tetapi pada umumnya para ahli logika tidak membedakan pengertian pernyataan dan pengertian proposisi. Dalam makalah ini istilah proposisi tetap diartikan sebagai kalimat tertutup, sedangkan kalimat  pernyataan akan dipakai untuk keperluan tertentu umumnya sama seperti buku-buku lainnya, bahwa istilah kalimat pernyataan tidak dibedakan dengan pengertian proposisi.

Latihan

1.  Tulislah masing-masing tiga buah contoh

a. Penyataan yang benar

b. Pernyataan yang salah

c. Bukan pernyataan

2.  Tentukan kalimat Pernyataan yang bernilai Benar (b) dan Salah (s)!

a.    Surabaya mendapat julukan kota pahlawan

b.   Ada dua belas bulan dalam setahun

c.    75 habis dibagi 4

d.   Bunga Mawar berwarna merah

e.    Tokyo adalah ibu kota negara Jepang

3.  Tentukan Kalimat Bukan Pernyataan, Pernyataan Benar, Pernyataan Salah

a.    Bunga Melati berwarna putih

b.   3x + 4 = 8

c.    Pagi ini hujan turun

d.   Kemarin saya pergi kerumah nenek

e.    Mobil itu beroda satu

2.3  KALIMAT TERBUKA

Pengertian Kalimat Terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel. Dalam matematika yang dimaksud dengan kalimat terbuka adalah kalimat yang belum mempunyai nilai kebenaran. Dalam kehidupan sehari-hari kalimat terbuka biasanya berbentuk kalimat tanya atau kalimat perintah. Sedangkan dalam matematika kalimat terbuka berbentuk persamaan atau pertidaksamaan.

Contoh Kalimat Terbuka :
a.  Manusia makan nasi
b.  7x – 1 = 12
c.  x² – 16 > 0

Perhatikan kalimat terbuka ” x²– 5x + 4 = 0 ”

Perhatikan kalimat berikut ini :

a.  Manusia makan nasi.

b.  . . . memakai sepatu.

c.  4 + x = 7

d.  4 + . . . = 7

e.  p < 5

Kalimat-kalimat seperti a sampai dengan e di atas disebut kalimat terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka kalimat yang terjadi dapat disebut kalimat tertutup.

Definisi : Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja (pernyataan).

Kalimat terbuka seperti c, d, dan e, disebut kalimat matematika (ada yang menyebut kalimat bilangan). Kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda “=” seperti kalimat c dan d disebut persamaan. Kalimat e yang menggunakan tanda “<” disebut pertidaksamaan (sebutan ini juga berlaku untuk kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda ”>” atau “≠”

Jika variabel pada kalimat matematika itu sudah diganti dengan konstanta dan kalimat matematika itu menggunakan tanda “=” maka kalimat yang terjadi disebut kesamaan. Sedang kalimat matematika yang tidak mengandung variabel dan menggunakan tanda “<”, “>” atau “≠” disebut ketidaksamaan.

Di atas telah diberikan definisi-definisi dari pernyataan, variabel, konstanta, dan kalimat terbuka. Pernyataan yang menjelaskan istilah-istilah di atas disebut kalimat definisi. Pada kalimat definisi tidak boleh terdapat kata-kata yang belum jelas artinya, apalagi kata yang sedang didefinisikan.

Beberapa istilah yang perlu diketahui.

1.    Variabel

·       Huruf x disebut variable. Sebuah variable mewakili sembarang anggota dalam semesta pembicaraan ( himpunan pengganti ).

Misalkan himpunan pengganti adalah :

{ 1 , 2 , 3 , 4 } maka :

x = 1 =>   1² – 5.1 + 4 = 0 ( benar )

x = 2 =>   2² – 5.2 + 4 = 0 ( salah )

x = 3 =>   3² – 5.3 + 4 = 0 ( salah )

x = 4 =>   4² – 5.4 + 4 = 0 ( benar )

·       Pengganti variable yang menyebabkan kalimat terbuka bernilai benar disebut penyelesaian, dan himpunan semua penyelesaian itu disebut himpunan penyelesaian.

Pada contoh diatas HP = { 1 , 4 }

2.    Konstanta

Pada kalimat ”x² – 5x + 4 = 0 ”, bilangan-bilangan 1 , – 5 , 4 dan 0 disebut konstanta. Suatu konstanta hanya mewakili anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

2.4  INGKARAN

A. Pengertian

Negasi atau ingkaran adalah pernyataan yang bernilai benar jika pernyataan semula salah, dan sebaliknya.

B. Cara Menentukan Negasi

Untuk menentukan negasi dari kalimat, ada 2 hal yang harus dipenuhi.
Pertama struktur kalimat. Antara kalimat semula dengan negasinya harus menunjukkan perlawanan. Kedua benar salahnya juga harus berlawanan. Jika kalimat semula bernilai benar, maka negasinya harus bernilai salah demikian sebaliknya. Atas dasar itu, maka dalam menentukan negasi, kita tidak bias hanya mengandalkan lawan kata. Kalau dalam bahasa Indonesia, naik lawannya turun. Dalam matematika, itu salah. Naik lawannya tidak naik. Sepintas tampaknya sama, tapi itu sangat beda.

Contoh:

·       Ada orang berkacamata >< Tidak ada orang berkacamata

Bagaimana jika di jawab “Ada orang tidak berkacamata”

Penjelasan :

Sepintas tampak betul, tapi itu salah

Kenapa salah?

Secara bahasa memang sudah menunjukkan perlawanan, tapi dari sisi kebenaran belum menunjukkan perlawanan. Ada orang berkacamata, kalimat itu benar karena memang ada orang yang berkacamata. Ada orang tidak berkacamata, kalimat ini benar juga, karena kita tau, memang ada orang yang tidak pakai kacamata. Negasi kalimat bernilai benar harus bernilai salah. Maka negasi yang tepat adalah “Tidak ada orang berkacamata”.

Menentukan negasi dilakukan dengan menambah kata “tidak” di tempat yang tepat atau menghilangkannya jika kalimatnya sudah memuat kata “tidak”.

C. Lambang Negasi

Operasi ini merupakan operasi uner yang dilambangkan dengan tanda "~" atau "¬". Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca "tidak benar bahwa p" atau "non p" atau "negasi dari p".

Contoh :

1.    p   : Jakarta ibu kota negara RI.

~p : Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Negara RI.

~p : Jakarta bukan ibu kota negara RI.

2.    q   : 2 + 5 = 10

~q : tidak benar bahwa 2 + 5 = 10

~q : 2 + 5 tidak sama dengan 10

D. Tabel Nilai Kebenaran Ingkaran

           

atau    

2.5  KONJUNGSI

     Konjungsi adalah kalimat majemuk yang terdiri dari dua pernyataan misalnya p dan q yang digabungkan dengan kata hubungkan dengan kata hubung logika “dan” dinotasikan “p_^q”.

·           Misalkan p dan q adalah pernyataan. Konjungsi dari p dan q adalah pernyataan majemuk “p dan q”,yang dilambangkan dengan p_^q. Pernyataan majemuk p_^q bernilai benar apabila p dan q keduanya benar. Pernyataan majemuk p_^q bernilai salah apabila salah satu p atau q salah, atau p dan q keduanya bernilai salah. Table kebenaran disajikan dalam tabel 1.1.

Contoh:

1.    p: Ani sakit

q: Ani tidak masuk sekolah

p_^q: Ani sakit dan tidak masuk sekolah

2.    p : 2 + 3 > 5

q : 5 - 2 = 3

p_^q: 2 + 3 > 5 dan 5 - 2 = 3

Tabel 1.1                                                

           

CONTOH SOAL:

Buatlah bentuk konjungsi dari p dan q, serta tentukan nilai kebenaranya!

1.  p: 5 adalah bilangan prima

q: 5 adalah bilangan ganjil

2.  p: -2 + 3 = 1

q:  6 – 4 < 2

3.  p : -3 > -7
q : 3 < 5

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!

1.    3x - 2x = x dan 3 adalah bilangan prima

2.    2 + 5 = 7 dan 7 adalah bilangan genap

3.    5 = -5 dan 3 < 6

4.    2 x 3 = 6 dan 7 x 2 > 14

2.6  DISJUNGSI

Dua pernyataan dapat digabungkan oleh perkataan ”atau” (maksudnya ”dan atau”) sehingga menjadi pernyataan majemuk yang disebut disjungsi dari pernyataan semula. Bila dua pernyataan itu ialah p dan q maka disjungsi dari p dan q ditulis p v q, dibaca ”p atau q”.

Definisi : Bila p atau q atau kedua-duanya merupakan pernyataan yang benar, maka p v q merupakan pernyataan yang benar ; yang lainnya salah.

Jadi dijungsi dari dua pernyataan itu salah bila kedua komponen pernyataannya merupakan pernyataan-pernyataan yang salah.

Contoh :

1.    Adi duduk di kelas III SMU atau Adi berusia 18 tahun

2.    Pak Budi berumur 50 tahun atau 51 tahun

Kedua kalimat tersebut merupakan disjungsi. Disjungsi contoh a disebut disjungsi inklusif, (karena Adi mungkin kelas III SMU dan umurnya 18 tahun terjadi bersama-sama). Pada contoh b, tak mungkin terjadi keduanya (bila umur pak Budi 50 tahun, tak mungkin 51 tahun). Disjungsi seperti ini dinamakan disjungsi eklusif. Dalam matematika yang banyak dipakai adalah disjungsi inklusif.

Tabel disjungsi eklusif:

P	Q	p v q
B	B	S
B	S	B
S	B	S
S	S	B

P	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Tabel disjungsi inklusif:

Nilai dan tabel kebenaran disjungsi :

Sebuah hotel mencari karyawan yang ”pandai menari atau pandai menyanyi”

Misalkan:      p = ”pandai menari”

q = ”pandai menyanyi”

maka tabel pelamar (yang dapat mendaftar atau tidak) adalah :

P	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Si A: pandai nari & nyanyi

Si B: hanya pandai nari

Si C: hanya nyanyi

Si D: tak pandai nari & nyanyi

B: diterima   S: ditolak

Dari tabel dapat dilihat suatu disjungsi bernilai salah jika kedua komponennya bernilai salah.

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut!

p : Surabaya adalah ibukota Jawa Timur.

q : Surabaya adalah kota pahlawan.

Dua pernyataan itu dapat dirangkai dengan menggunakan kata sambung atau menjadi :
“Surabaya adalah ibukota Jawa Timur atau Surabaya adalah kota pahlawan”

Dua pernyataan yang dirangkai dengan cara seperti itu disebut disjungsi. Jadi dapat disimpulkan bahwa Disjungsi merupakan pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan qyang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.

Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dapat ditulis sebagai berikut :
“p v q”  (dibaca p atau q)

Ada dua macam jenis disjungsi, yaitu disjungsi eksklusif dan disjungsi inklusif. Disjungsi Eksklusif adalah dijungsi yang bersifat menyisih, dapat dituliskan sebagai p v q (dibaca : p atau q, tetapi tidak p dan q). Disjungsi Inklusif yaitu disjungsi yang bersifat mencakup, dapat dituliskan sebagai p v q (dibaca p atau q, atau p dan q).

Nilai kebenaran disjungsi p v q dapat ditentukan melalui definisi berikut.:

·      p v q benar, jika salah satu diantara p dan q benar atau p dan q dua-duanya benar

·      p v q salah, jika p da q dua-duanya salah

Berdasarkan definisi diatas, tabel kebenaran disjungsi p v q dapat ditunjukkan seperti pada tabel berikut ini:

Tabel nilai kebenaran Disjungsi

P	q	(pvq)
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh:

 “ Semua bilangan prima adalah ganjil atau semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X “

 Jawab :

·      p          : Semua bilangan prima adalah ganjil

·      q          : Semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X

·      (p v q) : Semua bilangan prima adalah ganjil atau semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X

2.7  IMPLIKASI

I.  Pengertian Implikasi (Kondisional atau Proposisi Bersyarat)

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI / PERNYATAAN BERSYARAT / KONDISIONAL / HYPOTHETICAL dengan notasi "→".

Proposisi p disebut anteseden (premis / hipotesa / kondisi) dan proposisi q disebut konsekuen (konklusi / kesimpulan).Sedangkan bentuk proposisinya adalah “ jika p,maka q ” dan ditulis dengan notasi  p ® q.

Notasi tersebut dapat dibaca:

1.    Jika p maka q

2.    q jika p

3.    p adalah syarat cukup untuk q

4.    q adalah syarat perlu untuk p

              I. 

II.  Contoh  Implikasi

a.     p : saya lulus ujian

q : saya mendapat hadiah dari ayah

bentuk implikasi : Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah dari ayah

b.    p : suhu mencapai 80°C

q : udara terasa panas

bentuk implikasi : Jika suhu mencapai 80°C, maka udara akan terasa panas

c.     p : Dia tidak mendaftar ulang

q : Dia dianggap mengundurkan diri

bentuk implikasi : Jika dia tidak mendaftar ulang, maka dia dianggap mengundurkan diri

d.    p : kita tidak mengerjakan tugas

q : kita tidak mendapatkan nilai

bentuk implikasi :   Jika kita tidak mengerjakan tugas, maka kita tidak akan mendapatkan nilai

              I. 

III.  Tabel Kebenaran Implikasi          

p	Q	p ® q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Ø Penjelasan (dengan contoh)

Dosen: “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda akan mendapat nilai A untuk kuliah ini”.

Apakah dosen anda mengatakan kebenaran atau dia  berbohong? Mari kita tinjau empat kasus berikut ini:

Kasus 1:  Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) dan anda mendapat nilai A untuk kuliah tersebut(konklusi benar).

\ pernyataan dosen benar.

Kasus 2:  Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) tetapi anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah).

\ dosen berbohong (pernyataannya salah).

Kasus 3: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda mendapat nilai A (konklusi benar).

\ dosen tidak dapat dikatakan salah (Mungkin ia melihat kemampuan anda secara rata-rata bagus sehingga ia tidak ragu memberi nilai A).

Kasus 4: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah).

\ dosen benar.

·      Cara-cara mengekspresikan implikasi p ® q:

(a)           Jika p, maka q 

(b)      Jika p, q

(c)      p mengakibatkan  q (p implies q)

(d)     q jika p

(e)      p hanya jika q

(f)                       p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) )

(g)                      q syarat perlu untuk p (konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition)

(h)      q bilamana p (q whenever p)

Contoh : Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk:

(a)      Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.

(b)      Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.

(c)           Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

(d)     Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok.

(e)                       Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan.

(f)       Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.

2.7  BIIMPLIKASI

I.  Pengertian Biimplikasi

Biimplikasi adalah gabungan dua pernyataan dengan bentuk kondisional (sebab-akibat), dimana sebab dan akibatnya dapat dipertukarkan. Pernyataan sebabnya mengakibatkan pernyataan akibat dan juga sebaliknya. Untuk membedakannya dengan implikasi, operator biimplikasi dilambangkan dengan “⇔”, sedangkan pengalimatannya menggunakan bentuk “…. (pernyataan pertama) jika dan hanya jika …. (pernyataan kedua)”. Dalam keseharian biimplikasi biasanya memakai bentuk pengalimatan “jika… (pernyataan pertama) maka … (pernyataan kedua), demikian pula sebaliknya”.

    Dalam pengertian lain disebutkan bahwa, adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung logika " … jika dan hanya jika … " dan diberi lambang " ⇔ " atau " ↔ ".

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis " p ⇔ q " atau "p ↔ q" dibaca "p jika dan hanya jika q " dan sering juga dibaca " p equivalen q " dimana p adalah syarat perlu dan cukup bagi q.

II. Tabel nilai kebenaran biimplikasi

p	Q	p ⇔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Biimplikasi dapat dikatakan berasal dari implikasi “ p → q” dan konversnya, yaitu “q → p”.Dibentuk konjungsi antara implikasi dan konversnya tersebut, yaitu “(p → q) ˄ (q → p)”.

·      Tabel kebenaran dari konjungsi “(p → q) ˄ (q → p)”

P	q	p → q	q → p	(p → q) ˄ (q → p)
B	B	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	S
S	S	B	B	B

   

Memperhatikan nilai-nilai kebenaran dari  “(p → q) ˄ (q → p)” nilai-nilai kebenaran “p” dan “q” pada tabel diatas kita dapat menyimpulkan bahwa nilai kebenaran dari “(p → q) ˄ (q → p)” hanya B apabila nilai kebenaran dari p sama dengan nilai kebenaran q, dan bernilai S apabila nilai-nilai kebenaran dari p dan q berbeda.

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari Biimplikasi berikut:

(1)     8 + 7 = 15 jika dan hanya jika 15 ˃ 2 + 8

(2)   7 membagi habis 15 jika dan hanya jika 7 suatu bilangan prima.

(3)     Tutik adalah presiden RI jika dan hanya jika Semarang Ibu Kota RI

(4)     16 kelipatan 8 jika dan hanya jika 7 faktor dari 16

Penyelesaian:

(1)     “B”, karena 8 + 7 = 15 bernilai benar dan 15 ˃ 2 + 8 juga bernilai benar.

(2)     “S”, karena 7 membagi habis 15 bernilai salah dan 7 suatu bilangan prima bernilai benar.

(3)     “B”, karena Tutik adalah presiden RI bernilai salah dan Semarang Ibu Kota RI bernilai salah.

(4)     “S”, karena 16 kelipatan 8 bernilai benar dan  7 faktor dari 16 bernilai salah.

II. Negasi Dari Suatu Biimplikasi

      Jika biimplikasi semula dinyatakan sebagai “p ↔ q “ maka “ ~ (p ↔ q)” bukan “~p ↔ ~q”.

Biimplikasi “p ↔ q “ adalah singkatan dari “(p → q) ˄ (q → p)” maka

~ (p ↔ q) = ~ [(p → q) ˄ (q → q)]                                                          

= ~  (p → q) ˅ (p → q)

= (p ˄ ~q) ˅ (q ˄ ~p)

·           Tabel nilai kebenaran negasi biimplikasi:

P	Q	~p	~q	p ↔ q	p ˄ ~q	q ˄ ~p	~ (p ↔ q)	(p ˄ ~q) ˅ (q ˄ ~p)
B	B	S	S	B	S	S	S	S
B	S	S	B	S	B	S	B	B
S	B	B	S	S	S	B	B	B
S	S	B	B	B	S	S	S	S

Contoh:

Tuliskan negasi dari biimplikasi berikut ini!

(1)     7 suatu bilangan prima jika dan hanya jika 7 membagi habis 42

(2)     Amin dibelikan sepeda jika dan hanya jika Amin tidak nakal

Penyelesaian:

(1)     7 suatu bilangan prima dan tidak membagi habis 42, atau 7 membagi habis 42 dan 7 bukan suatu bilangan prima.

(2)     Amin dibelikan sepeda dan Amin nakal atau Amin tidak nakal dan Amin tidak dibelikan sepeda.

2.8  KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI

Dari pernyataan yang berupa implikasi p à q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sebagai berikut :

A.  Konvers

Konvers adalah sebuah proposisi yang timbul dari mempertukarkan hal lain, seperti dengan menempatkan predikat untuk subjek, dan subjek predikat.

·      Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi q à p disebut konvers.

Contoh :

Tentukan konvers dari pernyataan berikut :

a)   Jika kamu rajin belajar maka akan naik kelas.

b)   Jika habis dibagi 2 maka bilangan itu adalah bilangan genap.

Penyelesaian :

a)   Jika naik kelas maka kamu rajin belajar.

b)   Jika bilangan itu adalah bilangan genap maka habis dibagi 2.

B.  Invers

 Invers adalah sebuah proposisi dengan arti berlawanan dari sesuatu.

·      Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ p à ~ q disebut invers.

Contoh :

 Tentukan invers dari pernyataan berikut :

a)   Jika turun hujan maka ayah tidak dapat berangkat kerja.

b)   Jika cuaca mendung maka saya membawa payung.

Penyelesaian :

a)   Jika tidak turun hujan maka ayah dapat berangkat kerja.

b)   Jika cuaca tidak mendung maka saya tidak membawa payung.

C.  Kontraposisi

Kontraposisi adalah sebuah proposisi yang menyangkal subyek asli dari bertentangan predikat.

·      Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ q à ~ p disebut kontraposisi.

Contoh :

 Tentukan kontraposisi dari pernyataan berikut :

a)   (p à q) →(p à q)

b)   Jika Sari makan maka dia menjadi kenyang.

Penyalesaian :

a)   ~( p à q)→~(p à q)

b)   Jika Sari tidak kenyang maka dia tidak makan.

Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sebagai berikut :

                                     konvers

            p à q                                       q à p

 

            invers            kontraposisi       invers

            ~p à ~q                                ~q à ~p

                                     konvers          

Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi, Perhatikan tabel kebenaran di bawah ini :

P	Q	Implikasi p à q	Konvers q à p	Invers ~p à ~q	Kontraposisi ~q à ~p
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

Dari tabel di atas ternyata :

Ø Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya atau ditulis :

p à q ≡ ~q à ~p

Dengan kata lain jika implikasi bernilai benar maka kontraposisinya juga bernilai benar atau jika implikasi bernilai salah maka kontraposisinya juga bernilai salah.

Ø Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya atau ditulis :

q à p ≡ ~p  à~q

Dengan kata lain jika konvers bernilai benar maka inversnya juga bernilai benar atau jika konvers bernilai salah maka inversnya juga bernilai salah.

Contoh :

Tentukan konvers, invers, dan kotraposisi dari pernyataan berikut ini :

1.    Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga bahan pokok naik.

2.    Jika x ˃ 4 maka x² ≥ 16

Penyelesaian :

1.    Konvers   : jika harga bahan pokok naik maka harga bahan bakar minyak naik.

Invers       : jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga bahan pokok  tidak naik.

Kontraposisi : jika harga bahan pokok tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.

2.    Konvers   : jika x² ≥ 16 maka x ˃ 4

Invers       : jika x ≤ 4 maka x² ˂ 16

Kontraposisi : jika x²  ˂ 16 maka x ≤ 4

2.9  PENARIKAN KESIMPULAN

Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi.

a) Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”

b) Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).

Bila konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, bila konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.

1. Modus Ponens

Jika  benar dan p benar maka q benar.

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut

Premis  1       :   p       q    : Benar

Premis  2 :   p                       : Benar

                                             

Jadi         :   q                       : Benar   (Konklusi)

      Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai . Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

Tabel nilai kebenaran dari

P	q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Dari table tampak bahwa  merupakan  tautologi, jadi argumen tersebut sah.

Contoh :

1.    Jika Siti naik kelas maka Siti dibelikan sepeda.

Siti naik kelas.

                                                                       

Siti dibelikan sepeda

2. Modus Tollens

Jika  benar dan  benar maka p benar.

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:

Premis  1       :   p          q       : Benar

Premis  2       :  ~q                       : Benar

                                         

Jadi               : ~ p                       : Benar   (Konklusi)

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai , sah atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel nilai kebenaran

P	q	~p	~q
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

      

Dari tabel  tampak bahwamerupakan tautologi. Jadi modus tollens merupakan argumentasi yang sah .

Contoh :

1.    Jika Andi  lulus ujian maka Andi memperoleh hadiah

Andi tidak memperoleh hadiah

 

Andi tidak lulus ujian

3. Silogisme

Dari premis-premis dan dapat ditarik konklusi . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

Premis  1       :   p    q       : Benar

Premis  2       :   q    r        : Benar

 

Jadi               :   p    r        : Benar   (Konklusi)

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai  sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel nilai kebenaran .

p	Q	r
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S	B
B	S	B	S	B	B	S	B
B	S	S	S	B	S	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B	B	B

Dari tabel tampak bahwa  merupakan tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.          

Contoh:

1.    Jika Rina sakit maka Rina menangis

Rina tidak menangis

Jawab :

Rina tidak sakit (modus tollens)

p   : Rina sakit   →  q : Rina menangis.

~q : Rina tidak menangis.

  

 ~p : Rina tidak menangis.

2.    Jika Ani rajin belajar maka Ani naik kelas.

Jika Ani naik kelas maka Ani memperoleh hadiah.

Jawab:

Jika Ani rajin belajar maka Ani memperoleh hadiah ( silogisme)    

p: Ani rajin belajar → q: Ani naik kelas

q: Ani naik kelas    → r: Ani memperoleh hadiah

 

p: Ani rajin belajar → r: Ani memperoleh hadiah

3.    Jika Bu tutik tidak mengajar maka Bu Tutik pergi kuliah

Bu Tutik tidak mengajar

Jawab :

Bu Tutik pergi kuliah (modus ponens)

p: Bu Tutik tidak mengajar → q: Bu Tutik pergi kuliah

p: Bu Tutik tidak mengajar

 

q: Bu Tutik pergi kuliah

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Makalah ini dimulai dengan pembahasan mengenai pengertian logika, karena pengetahuan tentang logika ini sangat sering digunakan di dalam kehidupan nyata sehari-hari, di dalam mata pelajaran matematika sendiri maupun mata pelajaran lainnya. Isi makalah ini tidak hanya menekankan pada penghafalan rumus atau teorema semata-mata, namun sudah berusaha untuk memberi kemudahan bagi para pembaca. Sebagai contoh, tabel kebenaran untuk p → q tidak langsung diberikan dengan begitu saja, namun dengan contoh yang menurut penulis dapat memberi kemudahan bagi para pembaca untuk lebih memahaminya. Begitu juga tentang valid atau tidak validnya suatu argumen atau suatu penarikan kesimpulan.

3.2 SARAN

Diharapkan mahasiswa berikutnya dapat mengembangkan makalah ini supaya lebih sederhana dan lebih mudah dimengerti. Diharapkan mahasiswa dapat memahamai mata kuliah logika matematika dan mengaplikasikannya dalam kehidupan nyata.

DAFTAR PUSTAKA

www.4shared.com/office/.../makalah_pembelajaran_logika_ma.html

m4ri4ni.files.wordpress.com/2011/12/logika-matematika1.doc

ucu-syarief.blogspot.com/.../makalah-tentang-logika-matematika.html

ebookbrowse.com/ma/makalah-logika-matematika